プログラマとプロマネのあいだ

ITコンサル会社に勤務する普通のITエンジニアの日常です。

ラングレーの問題にハマった

中高の文化祭で、数学部(同好会?)が出していた問題のうちの1つ。下図のxの角度を求めるというもの。

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Twitterで見たことあるなあと思ったが、全然思い出せず。ぱっと見すぐ解けそうなんですが、角BDCが求まらないので、無理難題なんです。

色々ググった結果、ラングレーの問題と呼ばれているものということが分かりました。しかし、ググっても答えはわからず。さらに調べたところ、下記の本が見つかりました。

あまりに悔しかったので、即購入。古本で2,150円でした。ちと高い本でしたが、状態は良かったのでまあよしとしましょう。

答え

18度です。

解き方(私の考え方)

  1.  とりあえず分かる角度を埋めると、ABDの二等辺三角形からAB=AD、ABCの二等辺三角形からAB=BCであることがわかる。つまり、AD=AB=BC

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  2. おもむろに、辺ADを底辺とした正三角形を書く。(こんなのヒントなしでわかるわけない)
    書籍p317に、この問題はパターン1-14-7であることが載っていて、パターン1-14の具体例はp239に2つ載っているんですが、この下のパターンの方でした。

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  3. 次に、CEをむすぶ。

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  4. 正三角形の角度を入れる、BAE=ABCより、四角形ABCEは台形であることがわかる。角AECは、(360-(108×2))÷2=72度、したがって角CEDは12度となる。

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  5. 12度を入れた図。角CAE=角AEC=72度より、三角形ACEは二等辺三角形であることがわかる。

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  6. CDを延長して、線分AEに交わる点Fは、線分AEをちょうど半分にする点であることがわかる。AEを底辺とした正三角形と、二等辺三角形は、頂点は同じ線分上に乗るから。

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  7. 角ACD、角DCEともに、xであることが判明。

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  8. 三角形ACEの内角の和180-72×2=36。2x=36、x=18。

矛盾はないはず?

作図ツール

これ無料で使えるとかすごすぎでしょ。

www.geogebra.org

というわけで

解けると数学面白いですね(解けないとイライラする)。引退したら中学くらいの数学の本買ってきてやるのもいいかも。ちなみに中学受験の算数も結構面白いです。